Que nadie entre aquí si no sabe por qué 2 manzanas no son 6.2831853 manzanas

Una Aproximación Sociológica a las Matemáticas

“Qué nadie entre aquí si no es geómetra”. Así, se dice, advertía un cartel frente a la Academia de Platón. Dicho de otra forma, este mito asegura que el conocimiento de la geometría, tal como se la comprendía entonces, era condición necesaria para cualquier desarrollo posterior del saber filosófico.
No debe sorprender que la perfección geométrica sedujera a los filósofos entre los griegos de las ciudades–estado, para quienes la apreciación estética era parte misma del buen hacer social e intelectual. Más interesante es, quizá, lo que no está dicho con tanta claridad: que la abstracción del mundo sensible, la capacidad de reducirlo discursivamente a un conjunto manejable de elementos depurados, es decir, privando a la realidad sensible de todo elemento que supusiera una imperfección en las formas ideales y puras que moraban en el cielo más alto de la filosofía platónica, fuera una precondición del saber en general. Dicha capacidad de abstracción, y también ese gusto por lo puro –es decir, lo depurado a través del meta-discurso abstractivo–, puede considerarse incluso como una expresión de unas clases dominantes ávidas de justificar su posición social y de alejarse lo más posible de las masas a las que oprimían y de las cuales, en última instancia, dependían.
Pero no nos apresuremos. Antes de avanzar en el análisis de las matemáticas desde un punto de vista sociológico debemos precisar a qué nos referimos y cómo lo definiremos. De esta forma, algunas cuestiones evidentes (pero todavía opinables) y otras, que no lo son tanto y estarán siempre sujetas a una crítica posterior, deberán enunciarse para continuar.
En primer lugar, hay que destacar que las matemáticas constituyen una actividad humana, es decir, son algo que ciertas personas hacen en un ámbito social dado y, en alguna medida, es algo que todas las personas hacen. Es decir: resulta difícil pensar que un ser humano llegue a la vejez sin haber realizado siquiera una operación aritmética simple. En segundo lugar, esta actividad se compone de una serie indeterminada de operaciones intelectuales, ligadas a un marco ideológico preparado por las generaciones precedentes. De este modo, se trata de una actividad con historia, inmersa en la historia, sujeta a la historia. Reuniendo estos dos primeros elementos, tenemos que las matemáticas no constituyen una entidad abstracta en sí misma, separada de alguna manera del mundo humano, flotando por encima de las ideas más terrestres y comunes, sino que se trata de un hecho por demás cotidiano y que responde y se corresponde con otras actividades que los seres humanos realizan en un ambiente social y en el contexto de un desarrollo histórico. En tercer lugar, y de aquí la frecuente confusión en relación con los puntos anteriores, toda operación matemática precisa de una condición previa: es necesario que sus elementos sean el resultado de un ejercicio de abstracción, resultando así separados, recortados de toda vinculación con el mundo físico. Así, se ha llegado a decir que: “Ya desde Aristóteles (por lo menos) se sabe que toda ciencia está basada en lo que podría llamarse el “principio del conocimiento voluntariamente incompleto”: abstraer o generalizar significa precisamente que se prescinde de manera sistemática de ciertos aspectos de los entes considerados. El método axiomático en Matemática no es otra cosa que una aplicación de este principio, el cual únicamente se distingue de los otros métodos porque se tiene el cuidado de enumerar en forma exhaustiva las propiedades que se quieren admitir referentes a los entes estudiados (los “axiomas”) y porque inmediatamente se prohíbe recurrir a cualquier cosa que no sean estas propiedades y las reglas de la lógica” .
Se ha sostenido también que antes de Tales, alrededor del siglo VI a.C., no existía la abstracción, y entonces debiera ser cierto también que con éste filósofo comienza la era de las matemáticas . No obstante, tal apreciación no es correcta: grandes civilizaciones, por lo menos, han contado con instrumentos matemáticos con bastante anterioridad , aún cuando se los considere hoy rudimentarios –y no lo eran–.
Aventuraremos incluso la siguiente hipótesis: es probable que el desarrollo mismo de los lenguajes humanos haya sido acompañado por un incremento de la capacidad de abstraer, pues la referencia lingüística a cosas, tiempos y personas no presentes constituye un elemento fundamental de cualquier lenguaje desarrollado y, a la vez, un caso análogo a la abstracción matemática, pues la realidad inmediata (material, espacial y temporal) ha sido despojada de la ausencia de la entidad referenciada, mediante el uso del lenguaje, en dónde aparece como referencia. La capacidad de abstracción, siendo necesaria para el lenguaje, debe contabilizarse entre las condiciones mínimas necesarias para hablar de inteligencia, de modo tal que no es cierto que seamos capaces de realizar abstracciones útiles porque somos inteligentes. Más bien al contrario: podemos considerarnos inteligentes a partir de haber desarrollado la capacidad de abstraernos de la inmediatez. La auto-percepción –la conciencia–, sólo es posible en momentos de abstracción de la inmediatez fisiológica y ambiental y constituye más bien la excepción que la regla en las prácticas humanas cotidianas. Dicho más fácilmente: para pensar en nosotros mismos debemos recurrir ya a nuestra capacidad de abstracción. En relación con las características del pensamiento estrictamente matemático, puede suponerse un estado pretérito en el que aún no se encontraban diferenciados el polo puramente lingüístico del puramente matemático, y es bastante claro que en las prácticas cotidianas de la mayor parte de la humanidad ambos polos conviven sin mayores inconvenientes.
Por último, en el plano estructural del metalenguaje matemático, toda operación matemática debe estar referida a un sistema de símbolos, axiomas y reglas conocidas y aceptadas, a los efectos de que los resultados de las operaciones puedan ser validados por un interlocutor y replicados eficazmente por cualquier operador posterior. Este conjunto de reglas constituye la “gramática” de las matemáticas, así como sus símbolos equivalen a los ideogramas que, en conjunto, garantizan la intercambiabilidad y la interacción de las ideas. De hecho, en principio, la aceptación de los símbolos y las reglas son una condición suficiente para establecer un lenguaje matemático pues, a diferencia de los lenguajes referenciales, que predominan en las prácticas humanas, el metalenguaje matemático ha vaciado de determinaciones concretas a sus símbolos, manteniendo sólo la relación con las reglas establecidas, de modo tal que no precisan otro referente, ya sea empírico o procedimental, para valerse como mecanismo de interacción. De otra forma: los símbolos matemáticos no sirven de referencia a entidad alguna, sino que existen para dar forma a un conjunto preciso de reglas, que incluyen a los axiomas primarios que organizan los símbolos utilizados. No obstante, en una primera instancia histórica sí se habrá hecho abstracción de un “algo”. Peces, manzanas, espigas, cualquier cosa habrá bastado para establecer las primeras reglas aritméticas.
Si las operaciones más sencillas pueden interpretarse como parte de la aritmética, en este ensayo se incluyen el álgebra y la geometría bajo el manto general de las matemáticas, ya que no sólo se comprenderá el manejo de expresiones numéricas, sino también el alcance temporal y espacial de esta disciplina peculiar. Dos razones justifican esta aproximación: En primer lugar, las relaciones conceptuales que estableceremos en el trabajo lo ligarán por igual el discurso aritmético con el algebraico y el geométrico, pues, como se comprenderá, pueden conformar un universo metalingüístico conjunto; en segundo lugar, en las prácticas sociales ligadas a este universo dicha asociación ya se encuentra establecida y es ciertamente necesaria para el desenvolvimiento de los actores sociales que lo utilizan, al menos en muchas de sus aplicaciones más sofisticadas. En el desarrollo del ensayo, sin embargo, esperamos que se aclare cualquier duda que pueda haber en forma apriorística sobre el acierto de esta conjunción.
¿Se habrá comenzado, en la olvidada infancia humana, abstrayendo las entidades de las necesidades concretas de operar con sus cantidades, sus extensiones o sus situaciones? Por ejemplo: para repartir equitativamente dos manzanas entre dos recolectores, habrá sido necesario abstraer la condición de las manzanas; para describir la distancia hasta un arroyo, habrá sido necesario omitir la calidad del terreno, asignando, por ejemplo, una mayor importancia a la cantidad de pasos (o saltos, o tiros de piedra) necesarios para alcanzar un objetivo en una dirección determinada.
La abstracción es indispensable para la descripción de nuevos fenómenos ¿Cómo describir al fuego por primera vez? Efectuando comparaciones a partir de abstracciones de entidades ya conocidas: “Caliente como el sol (pero no alto, no móvil)”, “Danzante como el agua (pero no fría, no potable)”, “Hiriente como un filo (pero no es sólido, no hace sangrar)”, y así hasta conjugar la selección de elementos que permiten reunir a determinados fenómenos bajo la categoría general del “fuego”, que alguna vez habrá sido un neologismo, un nuevo símbolo.
Pero en las matemáticas estos objetos últimos no tienen otro valor que el de permitir las operaciones recíprocas entre los símbolos: carecen, en principio, de referencia alguna que sea externa a las reglas mismas: el “2” sólo tiene sentido según las relaciones que mantiene con el “1”, el “0” o el “3”, por ejemplo. Se trata de una evolución de la abstracción lingüística, que llega no a la descripción, sino al puro procedimiento. Las matemáticas constituyen un metalenguaje específico de las operaciones intelectuales ligadas a la determinación abstracta, siendo esta determinación la operación de un agregado de cualidades normativas (sujetas a las reglas de las matemáticas) a elementos llevados previamente al máximo grado de abstracción, dónde las entidades mismas han sido reducidas a espacios simbólico-ideológicos de significación ontológica casi nula: las cifras o las unidades algebraicas.
En el universo físico, que no puede ser abstraído por completo, “1” es siempre y necesariamente la cualidad de algo, así como un punto lo es siempre en alguna coordenada, y un plano en algún cuerpo. Por esto las matemáticas parecen convertirse en un universo propio y apartado: el grado extremo de abstracción de las entidades (véase la “purificación” a las que son sometidas las entidades en la geometría, sea euclidiana o no) y su incorporación a un “universo” de reglas preestablecidas les da ese carácter único y específico.
La utilidad más inmediata de esta operación es la relocalización de las entidades en el espacio ideológico de un discurso más apto para el establecimiento de relaciones recíprocas de diversa índole, al precio de regular al máximo dichas relaciones y mantenerlas aisladas de las entidades que representan en una primera instancia. La abstracción completa (la reducción a la cifra) es una operación necesaria para el establecimiento de reglas generales y para las relaciones entre entidades de diferente naturaleza.
Ahora bien, estas relaciones, en el plano de la historia (que es el primer espacio de dónde deben las entidades ser abstraídas, pues dos manzanas deben ser siempre dos, ni más verdes, ni más maduras, ni más dulces, ni más pesadas, ni de mayor tamaño) son las relaciones entre los sujetos concretos y su universo material de referencia y, en última instancia, de las relaciones sociales implicadas en el proceso de reproducción de la vida de los sujetos concretos.
Una total abstracción de la historia, por otra parte, no es posible para el conjunto del lenguaje matemático. Porque cuánto más fragmentadas estén las relaciones sociales y cuánto más desarrollada esté la división del trabajo social, más aspectos de la existencia deberán ser relacionados mediante instrumentos de tipo matemático, pues habrá más necesidad de abstracciones para mantener las diferencias existentes dentro de un conjunto operativo. El despliegue de las matemáticas a todos los ámbitos de la vida es la relación más estrecha entre la esfera económica y la científica en el capitalismo y de allí también el continuo incremento de la necesidad de las matemáticas en el desarrollo de la vida cotidiana, tanto en los niveles más elementales como en los más elevados sitiales de la ciencia.
La mayor complejidad en las relaciones entre sujetos supone también la necesidad de extender el campo de la abstracción, de tal modo que determinados elementos que tenían sólo una significación concreta pasan a ser tratados como abstracciones aptas para el manejo matemático, y también el de la simplificación, pues no hay que olvidar la extrema complejidad del universo en el que se desarrolla la abstracción y, por último, también debe extenderse el campo de las asociaciones y re-asociaciones comprendidas en el universo de las relaciones matemáticas.
En este despliegue histórico radica el desenvolvimiento de las matemáticas como metalenguaje. A su vez, la extensión de los campos del pensamiento (tanto por su multiplicación como por su aislamiento [hecho que acompaña al desarrollo de la filosofía]) supone e implicará una necesidad creciente en el avance de la abstracción y en la asociación de conjuntos (de hecho, casi todos los desarrollos matemáticos modernos y contemporáneos trabajan sobre conjuntos, porque cada conjunto expresa un sub-universo de reglas específicas). El lenguaje matemático no es, por tanto, diferente de otros lenguajes, sino en que con él se ha desarrollado a ultranza la simplicidad (la voluntad de abstraer a las entidades de casi cualquier aspecto concreto) y la capacidad de asociación.
Debe atenderse al tipo específico de determinación que en el lenguaje matemático se da a las entidades numéricas o algebraicas, se trate de un espacio ocupado, de una magnitud, de una relación ordinal o de un salto en una frecuencia, e incluso en la resolución de una incongruencia manifiesta. Cada “avance” matemático (cada ampliación, cada nuevo campo del lenguaje matemático) debería encontrar su lugar como respuesta a necesidades prácticas presentes en las relaciones sociales, aún cuando se trate simplemente de las relaciones existentes entre dos matemáticos o entre dos comunidades científicas, relaciones de las que, potencialmente, surgirán las mayores modificaciones del metalenguaje matemático.
Si existe una asociación entre el desarrollo de las matemáticas y el proceso de creciente complejidad de las sociedades humanas será porque existe una relación entre el desarrollo de las matemáticas y la capacidad de interactuar y transformar el mundo físico. No sólo están vinculadas las matemáticas, entonces, con las capacidades lingüísticas, sino también con el proceso de aplicación del trabajo humano en la reproducción de sus condiciones de vida. Las matemáticas se vuelven cada vez más complejas, y abarcan nuevos espacios, porque han aparecido nuevos territorios físicos para comprender, conquistar y utilizar y esto a su vez porque, en general, los sistemas sociales se han vuelto gradualmente más complejos en el plano interno, lo cual no puede dejar de redundar en una mayor necesidad de interactuar con el mundo físico, a los efectos de conseguir que el propio sistema siga existiendo.
Por otra parte, el proceso de diferenciación social ha contribuido no solo al desarrollo de las matemáticas, sino también –como condición previa a este desarrollo– a la aparición de los matemáticos. Al habilitarse, en las sociedades humanas, la posibilidad de que una determinada fracción de sus individuos no dependiera de su propio trabajo manual para subsistir, se dio la posibilidad de que estas personas se dedicaran con mayor intensidad al desarrollo de disciplinas abstractas, que sólo posteriormente producirían mecanismos operativos para transformar la realidad. En forma paralela, ésta mayor libertad contribuyó a que existiera una mayor capacidad de explicar fenómenos conocidos aplicando las nuevas herramientas. Así, por ejemplo, la nueva ciencia explica la palanca pero, indudablemente, no la inventa. En cualquier caso, aunque la imagen de unos sabios griegos creando las matemáticas es poco más que una ficción etnocentrista, es probable que a los griegos debamos la figura del geómetra como filósofo dedicado no sólo a abstraer, sino, sobre todo, a trabajar en las relaciones entre las abstracciones.
Al igual que otros lenguajes, al aparecer o al crearse nuevas entidades, ya sea por un procedimiento artificial o por simple casualidad, el lenguaje matemático ha crecido con el paso del tiempo, a medida que debía ocuparse de nuevos territorios intelectuales. Poco sabemos de la prehistoria de las matemáticas, pero podemos intuir con bastante certeza que incluso las formas más primitivas de seres humanos contaban con algunos elementos matemáticos. No debemos olvidar al respecto que el mero hecho de señalar la dirección en la que se encuentra un arroyo o un peligro expresa tanto un mensaje como una rudimentaria –aunque suficiente– percepción espacial que, con el paso del tiempo y la depuración intelectual, se convertirá en un elemento de la geometría. Podemos imaginar una distribución de alimentos, la cuenta del paso de los días (el establecimiento de las semanas es una forma de dividir matemáticamente el tiempo), un ejercicio de caza o una búsqueda de agua en donde algún elemento que hoy llamaríamos “matemático” podría encontrarse. La construcción de edificios, la distribución de calles o de canales de riego, el control del comercio y los impuestos suponen que cualquier sociedad humana que supere el grado de organización de la horda contará entre sus cualidades un cierto número de herramientas y procedimientos claramente matemáticos.
Nadie, excepto los defensores a ultranza de la originalidad de los griegos clásicos, supondría que en la construcción de las pirámides egipcias no intervinieron decisiones guiadas por procedimientos matemáticos. Las piedras y ladrillos no sólo debían ser cortadas, sino que debían serlo de acuerdo a ciertas medidas. Los lados de una mastaba –su superficie, su inclinación– se encontraban ya en la mente del diseñador, medidos y equilibrados. El espacio original de la obra ya se encontraba situado en una abstracción.
Pero incluso sin recurrir a la aritmética el pensamiento matemático se encuentra presente en las obras humanas. Cualquier albañil sabe a ciencia cierta, sin recurrir a cálculo alguno, qué pared ofrece mayor resistencia, qué ángulo puede darse a una cobertura de yeso sin que éste se desprenda. Por supuesto, esperamos mejores resultados cuando la resistencia de los materiales y su prueba metódica ha sido evaluada y cuantificada (y estos conocimientos son, en general, obtenidos mediante pruebas físicas) y sin duda es la posibilidad de establecer probabilidades uno de los mayores servicios que las matemáticas nos ofrecen. Sin embargo, no en todas las circunstancias sociales son indispensables y, al fin y al cabo, las probabilidades no están exentas de un altísimo grado de abstracción, pues son casi siempre establecidas cœteris paribus, es decir, que se advierte que debe hacerse abstracción de los imprevistos por venir, pues “mantener estables las restantes condiciones” es mucho pedir considerando que toda una eternidad yace por delante. Dicho de otra forma, considerando una previsión probabilística, la variable “tiempo” siempre tendrá escondida en la manga una escala mayor que convierta en poca cosa a la probabilidad establecida (en otros casos, puede ser la variable “espacio” o la “aceleración”, las encargadas de destrozar las previsiones). No es extraño que, precisamente, el tiempo sea uno de los elementos de la realidad que más se resiste a las abstracciones y sin duda no ha dejado de proponerse como el elemento más capaz de aparecer como una constante universal. Lamentablemente, que uno desee con todas sus fuerzas que un elemento tan importante se mantenga constante no es importante para ese elemento. La revolución introducida por la física contemporánea no es menor, ya que ha debido pensarlo todo en unos nuevos parámetros, dónde el tiempo es una variable más.
Pero no es el tiempo el primer problema matemático con el que se enfrenta la humanidad. Ya las relaciones entre el radio y la circunferencia de los círculos han dado innumerables quebraderos de cabeza, pues la constante que domina dichas relaciones, encontrada en primer lugar por un ejercicio de intuición y prueba, no es un simpático número entero, sino un valor inesperado y poco razonable. En efecto, el valor pi no sólo no es un número entero, digamos, un “3”, sino que ni siquiera es una fracción muy común –22/7– la que más se aproxima a su cálculo.

Por supuesto, en la indeterminación del valor de pi ha tenido una decisiva influencia el desarrollo anterior de las matemáticas. Las unidades de medida y capacidad (e incluso otras más complejas) preexistían como procedimientos establecidos mucho antes de que se planteara el problema. De haberse querido –en realidad, de haber sido útil–, podría haberse asignado a esta relación geométrica un valor entero y perfecto, un símil “1”, pero ello hubiera obligado a alterar todas las reglas del juego de las matemáticas existentes. Es decir, podrían haberse creado sistemas en base pi, pero el costo en materia de complejidad no vale, indudablemente, la pena de conservar la perfección geométrica del círculo. Simplemente, los números enteros en el sistema decimal son en general suficientes para las operaciones más usuales en una sociedad cuya base económica era relativamente simple y lo son todavía en la actualidad. Dos manzanas –en el sistema usual– parecen, en cualquier caso, asunto de menor importancia (e, intuitivamente, menos manzanas) que 6,2831853 manzanas en un supuesto “sistema pi”. Por otro lado, el carácter irracional del valor de pi no haría más que complicar todos y cada uno de estos cálculos. A todas luces, decir “una docena de huevos” es una expresión más sencilla y manejable que “37,7 huevos pi”.
No obstante, con el desarrollo tecnológico, más tarde o más temprano, éste y otros problemas debieron ser enfrentados, pues diferencias mínimas para ciertas escalas no lo son para otras, y la distancia entre expresar a pi como 22/7 y el valor 3,1415926535897932384626433832795, puede ser importante, digamos, para el desarrollo de la nano-tecnología o el cálculo preciso de trayectorias en grandes distancias. Y el cálculo de pi no es sino un problema menor a estas alturas del desarrollo científico, pues nuevas y peores complicaciones han surgido, al punto tal que el sistema en base 10, surgido probablemente de la posibilidad de contar hasta 10 con los dedos de las manos, no se ha sostenido en todos los campos: el sistema sexagesimal, el binario y el octagesimal han ocupado unos puestos que no han abandonado en la cartografía y la informática, por ejemplo. Pero, aún sin salir de la base históricamente predominante, la complicación de los cálculos ha dado lugar a la aparición de contradicciones e inconvenientes imprevistos, hasta modificar la propia base de cálculo, pues originalmente se contaba, para establecer la base, del 1 al 10, mientras que ahora se cuenta del 0 al 9, lo cual incluye con mayor precisión los símbolos de la base alterada por la introducción del 0 en el sistema numérico medieval. Los números extraordinariamente grandes, necesarios para los cálculos en química, por ejemplo, dieron lugar a la aparición de la notación científica, en donde los valores aparecen discriminando el producto de las potencias de 10, resultando que 23.000.000 es igual a 23 x 106. Por su parte, la necesidad de responder a preguntas surgidas del propio desarrollo de las matemáticas ha dado lugar a tremendos problemas: ¿Qué número resulta de dividir cualquier cantidad por “0” o por “Infinito”? Así han aparecido números que “tienden a infinito” o que “tienden a 0”, los cuales sin duda alguna no eran útiles ni necesarios (y quizás no lo sean nunca) pero que plantean problemas reales en términos de abstracción matemática. Recordemos que lo que nunca puede hacerse –y lo que, invariablemente, termina por hacerse–, en un lenguaje eminentemente procedimental, es, precisamente, alterar los procedimientos y las relaciones entre los símbolos en función de necesidades instrumentales y pasajeras, lo cual es perfectamente posible en un lenguaje corriente. Así, aparecen flagrantes indeterminaciones que quedan a la espera de respuesta. Pero ¿puede ocurrir que se presenten indeterminaciones en problemas que necesitan respuestas sí o sí? No sólo puede ocurrir, sino que ya ha ocurrido. En esos casos, no ha quedado más remedio que recurrir a la imaginación, incluso en forma completamente literal. Por ejemplo, para responder al problema de intentar resolver raíces pares de números negativos –del tipo (√-4)– no ha quedado otro remedio que crear los números imaginarios, que resultan de una operación imposible: el producto de un número por la raíz cuadrada de –1, [x(-1)], dónde esta raíz imposible se anota “i” y resultando números del tipo 4i, es decir, el conjunto de los números imaginarios, que abre a su vez el campo de los números complejos (del tipo 3 + 4i). Buena parte de las teorías más desarrolladas acerca de cómo es “realmente” nuestro universo –digamos, la física cuántica– y, en un campo más práctico, la tecnología electrónica, dependen de estos mecanismos metalingüísticos, que se combinan ya con el álgebra hasta el punto de volverla predominante allí en donde la posibilidad de realizar contrastes empíricos se retrasa. De este modo, incluso estos mecanismos sofisticados se apoyan en un cierto y, en general, controlado espectro de indeterminaciones, que denotan, no obstante, ciertas imperfecciones incluso en el terreno de lo absolutamente abstracto y formal.
Más evidente para el público en general que ésta continua introducción de elementos novedosos (pues los últimos tres siglos han resultado enormemente prolíficos en la producción de reglas, signos y símbolos matemáticos) es el reemplazo de antiguos sistemas de notación general de los símbolos por otros más aptos. En este sentido, es notable la superioridad operativa del sistema arábigo, que todavía es hegemónica en las prácticas aritméticas más usuales, frente al sistema de numeración romano, por ejemplo. La raíz de esta superioridad no es misteriosa y no responde únicamente a la existencia del cero: para la misma base matemática (“10”), el sistema romano sólo cuenta con tres símbolos que deben reutilizarse para completar el recuento de una decena, de modo que, para enumerar del 1 al 10, el sistema arábigo sólo repite una vez el símbolo “1”. Mientras que el romano utiliza dos veces el símbolo “X”, tres el “V” y nada menos que catorce veces el “I”. Para la mayor parte de las operaciones aritméticas, esto supone una complicación considerable, y la agregación tardía de nuevos símbolos (“L”, “C”, “D” o “M”), no simplifican el panorama sino parcialmente . Por otro lado, que las relaciones entre símbolos se simplifiquen al multiplicar éstos será útil hasta cierto punto (dónde se verifica una vez más el alcance del problema de las escalas que se utilizan). Un sistema de 100 símbolos, digamos, del “0” al “Pablito”, donde “Pablito” es igual a 9910 , sería prácticamente imposible de manejar, mientras que para algunos campos del conocimiento y de la técnica, el uso del sistema binario, de apenas dos símbolos (“0” y “1”), es sumamente práctico y esclarecedor. La geometría tampoco es ajena a estos problemas, pues nuevos usos del espacio han deparado la introducción del sistema sexagesimal para una multitud de operaciones útiles, mientras que el espacio mismo debe ser tratado a menudo como un ámbito no-euclidiano.
Asombrosamente, la enorme complejidad de los desarrollos matemáticos contemporáneos, casi todos ellos por completo alejados del conocimiento y las prácticas usuales de las personas, continúan representando en buena medida la necesidad de simplificar situaciones demasiado complejas para ser tratadas por el lenguaje ordinario, precisamente porque dicha complejidad, para mantener su coherencia interna, precisa ser incorporada a reglas que la hagan manejable, reglas que, por su parte, son también el resultado de una continua práctica de la abstracción. Dicho de otra forma, las matemáticas no se vuelven “más abstractas” o “más difíciles” en su desarrollo histórico, pero sí se complican los usos de las abstracciones propias de las matemáticas, pues a menudo deben crearse herramientas que son útiles, pero que se encuentran limitadas por las inflexibles reglas precedentes, o que deben erigirse sobre axiomas revolucionarios, casi siempre incompatibles con las matemáticas convencionales. Por supuesto, dicha complejidad creciente requiere para su comprensión no sólo de un profundo conocimiento de elementos precedentemente desarrollados, sino también de una continua práctica de los nuevos procesos creados por las nuevas “normas”. La formación de un matemático requiere, entonces, de muchos años de trabajo, aún en el caso de un matemático “puro”, que se ocupa de los problemas sin que le importen, en principio, sus posibles o probables aplicaciones prácticas –bueno, las probables sí, si se trata de un experto en cálculo probabilístico–. Incluso los “aplicadores” concretos de esta disciplina, en los campos más diversos de las actividades humanas, deben ocupar buena parte de su formación en incorporar una u otra rama de las matemáticas en forma consistente y suficiente. Para la mayor parte de las aplicaciones más especializadas, incluso los ordenadores son incapaces de suplir una falta de conocimientos matemáticos.
Con la continua revolución de los instrumentos analíticos y operativos, y la necesidad de una gran profundidad y complejidad, no sorprende que incluso para muchos matemáticos resulte invisible el carácter socialmente determinado de sus trabajos y conocimientos. En dos pilares se basa la gran confianza puesta por los matemáticos en su disciplina. Por un lado, hallamos el enorme prestigio que el conocimiento de intrincadas fórmulas ofrece a su poseedor, pues para la gente común una formula cualquiera es poco menos que un acto de magia, sólo que resulta más difícil saber cuándo hay que aplaudir, pues los conejos que se sacan de esas galeras suelen tener un aspecto poco seductor. Por otro lado, debe destacarse la increíble ductilidad de las matemáticas y su reconocida aportación al desarrollo de casi todas las ciencias. Prácticamente, puede decirse que la desagregación de la filosofía en la edad moderna y contemporánea vino acompañada, relacionándose en forma dialéctica, con la aplicación de una u otra herramienta matemática a cada campo del conocimiento empírico.
Este proceso pareciera darle la razón a Platón, pues también así la base de todo conocimiento es la matemática, sólo que ahora cada disciplina, en virtud de su creciente complejidad interna, se apropia de algunas ramas específicas de las matemáticas que le resulten útiles. No obstante, los matemáticos no encontrarán en ello ninguna razón para vanagloriarse, pues de ser la esencia misma de la filosofía, su disciplina se encuentra reducida, como casi todo, a una herramienta más de la razón instrumental.
Hay por lo menos, no obstante, dos campos del conocimiento humano en los que todavía predominan otros mecanismos de interacción con la realidad. Uno de ellos es el amplio campo de las ciencias sociales (crecientemente colonizadas por los estadísticos, sin embargo). El otro campo es, curiosamente, la filosofía misma, que continua concediéndole a la lógica su espacio, pero cuyos avances más significativos continúan recurriendo al tradicional lenguaje narrativo.
En el caso de las ciencias sociales, puede pensarse que el enorme número de variables con las que debe trabajarse para tratar casi cualquier asunto es una de las razones que frenan el avance de las matemáticas, pues resulta a veces insoportable para los marcos teóricos existentes hacer abstracción de algunas de ellas, impidiendo el desarrollo de fórmulas en las que dichas variables se encuentren artificialmente controladas. Pero pueden buscarse igualmente otras razones, de fondo teórico y hasta ideológico. Es necesario señalar también el enorme impacto que las transformaciones sociales han tenido sobre las matemáticas mismas. Como hemos visto, la necesidad de aplicar a nuevos campos empíricos las viejas reglas ha llevado a la necesidad de resolver, en forma no siempre satisfactoria, antiguos problemas cuya solución no tenía una aplicación práctica. Esto es decir que, si la filosofía se ha fragmentado, con las matemáticas, pese a una continua interacción entre sub-campos que indudablemente le pertenecen, también ha sufrido un desarrollo análogo. Como ocurre en medicina, o en ingeniería, un especialista en el desarrollo e investigación de una parte de las matemáticas puede no ser apto para el uso eficiente de otra rama, aunque se encuentre, indudablemente, en mejores condiciones para interpretarla que un lego.
Sólo las innovaciones de los últimos dos siglos bastarían para establecer una relación intuitiva entre el despliegue socio-económico de las sociedades capitalistas y el desarrollo de las matemáticas. La razón esencial de este despliegue coordinado radica en la cantidad de problemas planteados a los operadores sociales por las situaciones constantemente renovadas en todos los aspectos de la vida, de modo que, cada vez más, fue necesario buscar nuevas herramientas analíticas para situaciones que debían resolverse, o al menos investigarse. Por otra parte, una de las características intrínsecas de la ciencia moderna, ligadas a las ideologías positivistas y desarrollistas que dominaron el siglo XIX y el XX, es intentar buscar al menos una solución plausible para todo problema planteado. De otro modo: la ciencia en la actualidad no se resigna con facilidad a transparentar la ignorancia sobre uno u otro aspecto de la realidad, y los modelos matemáticos a menudo permiten formular esquemas plausibles de funcionamiento para introducir vías de explicación para casi cualquier fenómeno. Estas aproximaciones distan mucho de ser inútiles, pues a menudo permiten, gracias a la solidez habitual de los axiomas matemáticos, establecer un modo ordenado de eliminar hipótesis temerarias y de formular vías futuras de investigación empírica. Las matemáticas se han convertido, junto con el lenguaje, en la principal herramienta intelectual con que cuenta la especie humana para garantizar su predominio en el planeta. Es bastante probable que mucho tengan para decir ante la eventual conquista de nuevos mundos o universos todavía ignorados. Eventualmente, si no son guiadas con cuidado por otros aspectos del pensamiento, podrán ser también instrumentos para nuestra destrucción.

Superación conjetural del complejo de Saturno (¡Ahora en un libro!)

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El texto completo (e igualmente gratuito y de libre difusión) de esta conjetura puede leerse en https://sites.google.com/site/soltonovich/home/ensayos, porque salió publicado en mi libro: Diez demonios danzan: ensayos filosóficos que necesitan un exorcismo con el sello de Entalpía. Mi agradecimiento a todos los lectores, porque este texto ha tenido una sorprendente difusión y me ha brindado tanto estímulo para seguir publicando como problemas de reflexión adicionales.

¡Muchas Gracias!